핵심 : 항등식 미분 문제는 먼저 $f(x)$의 차수를 결정하는 것이 핵심입니다. 좌우변의 차수를 비교해 차수를 정할 수 있다면 먼저 차수를 결정하고, 바로 알 수 없다면
$$
f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0
$$
와 같이 미정계수로 놓아 계수를 구합니다. 즉, (차수 결정 → 필요한 경우 미정계수 설정 → 계수 결정)의 순서로 접근하는 것이 이 문제의 핵심입니다.
포인트 : 학생들이 이 유형을 어려워하는 이유는 차수를 결정한 뒤 미정계수로 놓고 구해야 한다는 생각을 쉽게 떠올리지 못하기 때문입니다.
다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은?
함수와 도함수가 함께 나오는 항등식 문제, 처음 보면 조금 복잡해 보이지요.
하지만 이 문제에서 중요한 것은 복잡한 식을 무작정 계산하는 것이 아니라, 다항함수 $f(x)$의 차수를 먼저 알아내는 것입니다.
차수가 결정되면 그다음에는 $f(x)$의 형태를 구체적으로 정하고, 필요한 경우 미정계수를 이용해 문제를 풀어갈 수 있습니다.
오늘은 항등식 미분 문제에서 다항함수의 차수를 찾아내는 두 가지 방법을 함께 알아보겠습니다.
이 문제를 처음 보면 $\{f'(x)\}^2=12f(x)-8$이라는 식과 $f'(2)=8$이라는 조건을 이용해 바로 $f(2)$를 구하려고 합니다.
하지만 이 문제에서 먼저 알아야 할 것은 $f(2)$의 값이 아니라 $f(x)$가 어떤 다항함수인지, 그리고 그 차수가 몇 차인지입니다.
문제집에서는 항등식의 양변을 비교하거나 미분하여 주어진 조건을 이용하는 방법을 설명합니다. 하지만 학생들이 실제 문제를 풀 때는 식을 보고 곧바로 계산부터 시작하는 경우가 많습니다.
이때 놓치기 쉬운 것이 바로 다항함수의 차수입니다.
항등식에서는 모든 실수 $x$에 대하여 양변이 항상 같아야 하므로, 양변의 차수를 비교하면 $f(x)$의 차수를 알아낼 수 있습니다. 그리고 차수가 결정되지 않는다면
$$ f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 $$
와 같이 구체적인 형태를 정한 뒤 미정계수를 구하는 방법으로 이어갈 수 있습니다.
즉, 이 문제에서 학생들이 먼저 알아야 하는 것은 “어떤 공식을 적용할까?”가 아니라 “$f(x)$의 차수를 어떻게 결정할까?”입니다.
이 문제에서 다항함수의 차수를 구하는 방법은 두 가지가 있습니다.
1. 차수 구하기 1
주어진 다항식의 차수를 $n$이라 하면 미분한 $f'(x)$의 차수는 $n-1$이 됩니다.
그래서 좌변의 차수는 $2(n-1)$이고, 우변의 차수는 $n$입니다.
따라서 $2(n-1)=n$에서 $n=2$를 구할 수 있습니다.
즉, 이 문제에서는 양변의 차수를 비교하는 것만으로 $f(x)$의 차수를 결정할 수 있습니다.
2. 차수 구하기 2
그런데 $f(x)$를 $n$차로 두었을 때 좌변과 우변의 차수가 똑같이 $n$으로 나타나는 경우가 있습니다.
이 경우에는 다음과 같이 $f(x)$를 둡니다.
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ ($a_n\ne0$)
이제 좌변과 우변의 최고차항을 비교합니다.
좌변은 $\{f'(x)\}^2=(na_nx^{n-1}+\cdots)^2=n^2a_n^2x^{2n-2}+\cdots$이고,
우변은 $12f(x)=12a_nx^n+\cdots$입니다.
따라서 최고차항의 차수를 비교하면
$2n-2=n$에서 $n=2$를 얻고,
최고차항의 계수까지 비교하면
$4a_n^2=12a_n$, 즉 $4a_n(a_n-3)=0$이 됩니다.
$a_n\ne0$이므로 $a_n=3$을 얻습니다.
물론 이상과 같이 차수를 구하는 방법은 문제에서 $f(x)$가 다항함수라고 했기에 가능한 것입니다.
그렇다면 두 방법은 언제 구분해서 사용해야 할까요?
양변의 차수를 비교했을 때 $n$에 대한 식이 만들어진다면 차수만 비교하면 됩니다.
하지만 양변의 차수가 똑같이 $n$으로 나타나 차수만으로는 $n$을 결정할 수 없다면 최고차항의 계수까지 비교해야 합니다.
3. 문제 풀이
첫 번째 차수를 구한 방법으로 풀어봅니다.
다항식 $f(x)$가 2차식이므로 $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\ne0$)이라 두면
좌변은 $(2ax+b)^2=4a^2x^2+4abx+b^2$이고, 우변은 $12(ax^2+bx+c)-8=12ax^2+12bx+12c-8$입니다.
주어진 식이 항등식이므로 계수를 비교하면
$4a^2=12a$, $4a(a-3)=0$에서 $a\ne0$이므로 $a=3$입니다.
$b^2=12c-8$ ①
한편, $f'(2)=8$에서 $[6x+b]_{x=2}=b+12=8$이므로 $b=-4$입니다.
①에서 $16=12c-8$이므로 $c=2$입니다.
따라서 $f(x)=3x^2-4x+2$이므로 $f(2)=6$입니다.
두 번째 차수 구하는 방법으로는 2차항의 계수까지 구했으니 좀 더 빠른 계산이 될 수도 있습니다.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 다음을 만족할 때, $f(2)$의 값은?
문제 풀이
이번 문제도 먼저 $f(x)$의 차수를 생각해볼 수 있습니다.
$f(x)$가 $n$차 다항함수라 하면 $f'(x)$는 $n-1$차이고, $(x+1)f'(x)$는 다시 $n$차가 됩니다.
따라서 양변의 최고차항을 비교하면 $f(x)$의 차수를 결정할 수 있습니다.
$f(x)=a_nx^n+\cdots$ ($a_n\ne0$)이라 하면 좌변의 최고차항은 $2a_nx^n$이고, 우변의 최고차항은 $na_nx^n$입니다.
항등식이므로 최고차항의 계수를 비교하면 $2a_n=na_n$이고, $a_n\ne0$이므로 $n=2$입니다.
따라서 $f(x)$는 2차함수이므로
$$ f(x)=ax^2+bx+c $$
로 놓을 수 있습니다.
이를 주어진 식에 대입하면 $2(ax^2+bx+c)=(x+1)(2ax+b)+1$이므로
$$ 2ax^2+2bx+2c = 2ax^2+(2a+b)x+b+1 $$
항등식이므로 계수를 비교하면 $2b=2a+b$에서 $b=2a$이고, $2c=b+1$을 얻습니다.
또한 주어진 조건 $f(0)=0$에서 $c=0$입니다.
따라서 $2c=b+1$에 $c=0$을 대입하면 $b=-1$이고, $b=2a$이므로 $a=-\frac12$입니다.
결국 $ f(x)=-\frac12x^2-x $이므로
$f(2)=-\frac12(2)^2-2=-4$
따라서 정답은 $-4$입니다.
항등식 미분 문제에서 가장 먼저 생각해야 할 것은 $f(x)$의 차수입니다.
양변의 차수를 비교해서 $n$에 대한 식을 만들 수 있다면 차수만 비교하여 $f(x)$의 차수를 결정합니다.
하지만 양변의 차수가 똑같이 $n$으로 나타나 차수만으로 결정할 수 없다면 최고차항의 계수까지 비교해야 합니다.
차수가 결정되면 그때 $f(x)$를 구체적인 다항식으로 놓고, 항등식의 계수 비교와 주어진 조건을 이용해 필요한 계수를 하나씩 구해나가면 됩니다.
결국 항등식 미분 문제는 복잡한 식을 보고 바로 계산하기보다
차수 결정 → 필요한 경우 최고차항의 계수 비교 → $f(x)$의 형태 결정 → 계수 비교 → 주어진 조건 활용
의 순서로 생각하는 것이 중요합니다.
함수와 도함수가 함께 나오는 항등식 문제는 처음 보면 식이 복잡해서 어렵게 느껴질 수 있습니다.
하지만 문제에서 $f(x)$가 다항함수라고 했다면, 먼저 “이 함수의 차수가 몇 차일까?”를 생각해 보세요.
차수를 알아내는 순간 복잡해 보이던 식의 형태가 구체적으로 보이기 시작합니다.
오늘 살펴본 것처럼 차수만 비교해서 구할 수도 있고, 필요하다면 최고차항의 계수까지 비교하여 차수를 결정할 수도 있습니다.
중요한 것은 계산을 빨리 시작하는 것이 아니라 문제를 보고 어떤 순서로 생각해야 하는지를 아는 것입니다.
다음에 함수와 도함수가 함께 나오는 항등식 문제를 만난다면, 먼저 이렇게 생각해 보세요.
“잠깐, $f(x)$의 차수부터 알아볼 수 있을까?”
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